La probabilidad se puede trabajar desde tres perspectivas diferentes:
La clásica, utilizada inicialmente para los juegos de azar. También se le conoce como probabilidad a priori.
Frecuencia Relativa, la cual se utiliza, generalmente, cuando hay experimentación. Por ejemplo, el crecimiento de una planta, el número de accidentes de tránsito, duración de un bombillo eléctrico, entre otros.
Los modelos de probabilidad, cuando se define el tipo de variable aleatoria a utilizar y se intenta visualizar su comportamiento.
En esta sección, se trabajará desde la perspectiva clásica y como frecuencia relativa, por lo que es necesario tener en cuenta las siguientes definiciones.
Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.
Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo 1. Al lanzar un dado equilibrado se pueden observar los resultados siguientes:
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E = { 6 }
Ejemplo 2. En el lanzamiento de dos monedas tenemos;
E = { SS, SA, AS, AA } E = { 4 }
Evento. Es un subconjunto del espacio muestral, es decir, son los resultados obtenidos de realizar un experimento, los cuales tienen una característica en común. Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.
Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer.
Ejemplo: En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple.
Evento Nulo. Es el evento que contiene a ningún resultado del espacio muestral. Ejemplo. El evento de obtener el número 8 al lanzar dado es un evento nulo o vacío porque las caras de los dados están numeradas desde 1 hasta 6.
Unión de eventos. Dos o más eventos su pueden unir para formar un nuevo evento. Ejemplo. Si E1={2, 4} y E2={1, 2, 6}, entonces E1UE2={1, 2, 4, 6}
Intersecciónde Eventos. Son los resultados comunes de dos o mas eventos. Ejemplo. Si E1={2, 4} y E2={1, 2, 6}, entonces E1∩E2={2}.
Eventos Mutuamente Excluyentes. Cuando dos o mas eventos no tienen resultados en común, es decir, su intersección es vacía, entonces se denominan mutuamente excluyentes.
PROBABILIDAD SIMPLE, CONJUNTA Y CONDICIONAL
La probabilidad simple, determina la probabilidad de que ocurra un evento específico durante un experimento o de un conjunto de información proporcionada. Se calcula mediante la siguiente ecuación:
Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87) 68 ÷ 87 = 0.781609
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78
La probabilidad conjunta se da cuanto se requiere que dos eventos ocurran de manera simultánea y existen dos casos:
En el caso que los eventos sean mutuamente excluyentes es decir que uno impida la ocurrencia del otro, en este caso la probabilidad se determina de la siguiente manera:
P( A U B) = P(A) + P(B)
En el caso que los eventos sean no excluyentes, es decir que uno no interfiera con la ocurrencia del otros se determina
P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A∩B) Ejemplo. El funcionamiento de un sistema depende de los componentes A y B, de tal forma que puede funcionar si cualquiera de los dos responde correctamente. Además se sabe que P(A)=0.9, P(B)=0.8 y P(A∩B)=0.72, entonces la probabilidad de que el sistema funcione es: P(AUB)=P(A) + P(B) – P(A∩B)=0.9+0.8-0.72=0.98
PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea S un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;
CONJUNTO.png
Donde: p(A/E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió p(A∩E) = probabilidad de que ocurra A y E al mismo tiempo p(E) = probabilidad de que ocurra E
CONJUNTO1.png
Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió. Ejemplo. La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0,9. Un aparato contiene dos de éstos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los componentes.
a. Sin importar cuál de los dos componentes funcione o no, ¿cuáles son los posibles resultados y sus respectivas probabilidades? (Puede suponerse independencia en la operación entre los componentes)
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?
T1: “funcione el componente 1” T2: “funcione el componente 2” Hay 4 posibilidades: funcionan los dos componentes, ninguno funciona ó uno funciona y el otro no. P(T2/T1)=0.81
P(-T2/T1)=P(T2/)=0.09
P(-T2/-T1)=0.01
La probabilidad de que el aparato funcione, F, es:
P(F)=1-0.01=0.99
Eventos Independientes. Dos eventos A y B de un espacio muestral son independientes cuando:
P(A∩B)=P(A)*P(B) o
P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B)
Es decir, el resultado de un evento no influye en el resultado del otro.
En el siguiente enlace encuentra conceptos basico y ejercicios, Probabilidad
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
La probabilidad se puede trabajar desde tres perspectivas diferentes:- La clásica, utilizada inicialmente para los juegos de azar. También se le conoce como probabilidad a priori.
- Frecuencia Relativa, la cual se utiliza, generalmente, cuando hay experimentación. Por ejemplo, el crecimiento de una planta, el número de accidentes de tránsito, duración de un bombillo eléctrico, entre otros.
- Los modelos de probabilidad, cuando se define el tipo de variable aleatoria a utilizar y se intenta visualizar su comportamiento.
En esta sección, se trabajará desde la perspectiva clásica y como frecuencia relativa, por lo que es necesario tener en cuenta las siguientes definiciones.Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.
Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo 1. Al lanzar un dado equilibrado se pueden observar los resultados siguientes:
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E = { 6 }
Ejemplo 2. En el lanzamiento de dos monedas tenemos;
E = { SS, SA, AS, AA } E = { 4 }
Evento. Es un subconjunto del espacio muestral, es decir, son los resultados obtenidos de realizar un experimento, los cuales tienen una característica en común. Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.
Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer.
Ejemplo: En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple.
Evento Nulo. Es el evento que contiene a ningún resultado del espacio muestral.
Ejemplo. El evento de obtener el número 8 al lanzar dado es un evento nulo o vacío porque las caras de los dados están numeradas desde 1 hasta 6.
Unión de eventos. Dos o más eventos su pueden unir para formar un nuevo evento.
Ejemplo. Si E1={2, 4} y E2={1, 2, 6}, entonces E1UE2={1, 2, 4, 6}
Intersección de Eventos. Son los resultados comunes de dos o mas eventos.
Ejemplo. Si E1={2, 4} y E2={1, 2, 6}, entonces E1∩E2={2}.
Eventos Mutuamente Excluyentes. Cuando dos o mas eventos no tienen resultados en común, es decir, su intersección es vacía, entonces se denominan mutuamente excluyentes.
PROBABILIDAD SIMPLE, CONJUNTA Y CONDICIONAL
La probabilidad simple, determina la probabilidad de que ocurra un evento específico durante un experimento o de un conjunto de información proporcionada. Se calcula mediante la siguiente ecuación:
Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
- Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87) 68 ÷ 87 = 0.781609
- Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78
La probabilidad conjunta se da cuanto se requiere que dos eventos ocurran de manera simultánea y existen dos casos:- En el caso que los eventos sean mutuamente excluyentes es decir que uno impida la ocurrencia del otro, en este caso la probabilidad se determina de la siguiente manera:
P( A U B) = P(A) + P(B)- En el caso que los eventos sean no excluyentes, es decir que uno no interfiera con la ocurrencia del otros se determina
P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A∩B)Ejemplo. El funcionamiento de un sistema depende de los componentes A y B, de tal forma que puede funcionar si cualquiera de los dos responde correctamente. Además se sabe que P(A)=0.9, P(B)=0.8 y P(A∩B)=0.72, entonces la probabilidad de que el sistema funcione es:
P(AUB)=P(A) + P(B) – P(A∩B)=0.9+0.8-0.72=0.98
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sea S un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;
Donde:
p(A/E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió
p(A∩E) = probabilidad de que ocurra A y E al mismo tiempo
p(E) = probabilidad de que ocurra E
Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.
Ejemplo.
La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0,9. Un aparato contiene dos de éstos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los componentes.
T1: “funcione el componente 1”
T2: “funcione el componente 2”
Hay 4 posibilidades: funcionan los dos componentes, ninguno funciona ó uno funciona y el otro no.
P(T2/T1)=0.81
P(-T2/T1)=P(T2/)=0.09
P(-T2/-T1)=0.01
La probabilidad de que el aparato funcione, F, es:
P(F)=1-0.01=0.99
Eventos Independientes. Dos eventos A y B de un espacio muestral son independientes cuando:
- P(A∩B)=P(A)*P(B) o
- P(A/B)=P(A)
- P(B/A)=P(B)
Es decir, el resultado de un evento no influye en el resultado del otro.En el siguiente enlace encuentra conceptos basico y ejercicios, Probabilidad